이항 정리(Binomial Theorem)
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표기법: 조합
- 조합을 의미하는 Combination 을 다음과 같이 괄호를 써서 위아래로 표기하고, 이항 계수라 부른다.
- 의미는 똑같지만 는 로 착각하기 좋은 모양이라 를 선호한다.
이항 정리
Binomial Theorem
중학교 때 배운 곱셈 공식을 생각해 볼 수 있을 것이다.
이 등식의 계수는 왜 이 될까?
식을 전개하는 과정이 a와 b가 들어있는 주머니에서 중복을 무시하고 2번 꺼내서 나열하는 것과 같기 때문이다.
형태도 마찬가지다.
즉, 형태의 각 항의 계수는 조합 형태로 표현할 수 있다.
따름 정리 1
- n 이 음이 아닌 정수라면 다음이 성립한다.
왜냐하면 과 같은 형태이기 때문이다.
따름 정리 2
- n 이 음이 아닌 정수라면 다음이 성립한다.
왜냐하면 과 같은 형태이기 때문이다.
따름 정리 3
- n 이 음이 아닌 정수라면 다음이 성립한다.
왜냐하면 과 같은 형태이기 때문이다.
파스칼의 항등식
Pascal’s Identity
가 양의 정수이고, 라면 다음이 성립한다.
주머니 하나에 여러 색깔의 구슬 개가 들어 있다고 하자.
만약 이 주머니에서 개의 구슬을 순서 상관없이 골라낸다고 하면 경우의 수는 가 될 것이다.
그런데 이 경우의 수를 두 경우로 분할해서 생각할 수 있다.
- 빨간 구슬 한 개를 골라놓고 개를 골라내는 경우.
- 빨간 구슬을 제외하고 개를 골라내는 경우.
따라서 다음과 같이 정리할 수 있다.
그냥 식을 정리해서 증명하는 방법도 있다.
파스칼의 삼각형
Pascal’s Triangle
각 번째 행을 으로 나열하고 삼각형 모양으로 정렬한 것을 파스칼의 삼각형이라 한다.
각 조합을 계산해보면 다음과 같은 자연수의 삼각형이 나오는데, 각 행은 행 번호에 해당하는 이항계수들의 리스트가 된다.
잘 살펴보면 한 줄의 아이템 하나와 바로 위의 대각선 양쪽 아이템들이 파스칼의 항등식을 보여주고 있음을 알 수 있다.
즉, 다음 행의 특정 값을 구하고 싶으면 조합식을 계산하지 않고 위쪽의 양쪽 대각선의 합을 구해도 된다.
참고문헌
- Rosen의 이산수학 / Kenneth H. Rosen 저 / 공은배 등저 / 한국맥그로힐(McGraw-Hill KOREA) / 2017년 01월 06일