페르마의 소정리
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Fermat's little theorem
정리
If is prime and is an integer not divisible by , then
Furthermore, for every integer we have
- 가 소수이고 가 로 나누어지지 않는 정수이면
- 이다.
- 그리고, 모든 에 대하여
- 이다.
계산 예제
을 계산하라.
7 보다 큰 소수 11 을 사용해 페르마의 소정리에 적용해보면 다음을 얻을 수 있다.
이제 을 단순하게 정리할 수 있다.
따라서 답은 5 다.
유사소수
pseudoprime
페르마의 소정리는 편리하지만 주의해야 할 점이 있다.
- 가 소수이면 페르마의 소정리를 만족한다.
- 하지만 페르마의 소정리를 만족한다고 해서 가 반드시 소수인 것은 아니다.
즉, 가 합성수인데도 를 통과하는 경우가 있다.
이런 합성수들을 유사소수라 부른다.
Let be a positive integer. If is a composite positive integer, and , then is called a pseudoprime to the base .
- 를 양의 정수라 하자.
- 이 양의 정수인 합성수이고, 이면
- 을 를 밑수로 하는 유사소수라 부른다.
유사소수 예제
일 때, 341 은 유사소수인가?
유사소수인지 확인하려면 두 조건을 체크하면 된다.
- 합성수인가?
- 다음 합동식이 참인지 확인하면 된다.
- .
- 즉, 을 341 로 나눈 나머지가 1 인지 확인하면 된다.
일단 341 은 합성수가 맞다. .
이제 을 341로 나누면 나머지가 1 이 나오는지를 확인하면 된다.
은 꽤 큰 수이기 때문에 나머지를 구하는 것은 까다로운 일이다.
그러나 페르마의 소정리를 활용하면 을 11로 나눈 나머지가 1 이라는 사실을 쉽게 확인할 수 있고, 이를 이용해 을 쉽게 풀 수 있다.
따라서 다음과 같이 확인할 수 있다.
341 은 2를 밑수로 하는 유사소수이다.
카마이클 수
Carmichael number
A composite integer that satisfies the congruence for all positive integers with is called a Carmichael number. (These numbers are named after Robert Carmichael, who studied them in the early twentieth century.)
- 인 모든 양의 정수 에 대하여,
- 을 만족하는 합성수인 정수 을 카마이클 수라 부른다.
카마이클 수 예제
561 은 카마이클 수인가?
카마이클 수인지 확인하려면 두 조건을 체크하면 된다.
- 합성수인가?
- 인 모든 양의 정수 에 대하여 이 성립하는가?
일단 561 은 합성수가 맞다. .
이제 을 확인하자.
561 의 소인수를 페르마의 소정리 에 넣어 다음과 같이 정리할 수 있다.
그러므로 에 대해 다음과 같은 사실을 알 수 있다.
따라서 561 과 서로소인 모든 양의 정수 에 대해 다음이 성립한다.
(만약 가 561 과 서로소가 아니라면? 가령 가 11 의 배수라면 의 결과가 1 이 아니라 0 이 된다. 따라서 위의 합동식은 성립하지 않게 된다.)
참고문헌
- Rosen의 이산수학 / Kenneth H. Rosen 저 / 공은배 등저 / 한국맥그로힐(McGraw-Hill KOREA) / 2017년 01월 06일