이 문서는 [[CONCRETE-MATH]] 2장.합 - 7.무한합을 공부한 노트입니다.

무한합 주의점

  • 지금까지 배운 것은 “유한합(finite sum)”이었다.
    • 지금까지 배운 조작 방법들 중, 무한합에 통하지 않는 것들이 있다.
    • 어떤 경우에 어떤 것이 통하는지를 배워야 한다.

예: 통하는 경우

다음과 같이 S의 값이 2라고 하는 것은 통한다. (수렴하기 때문인 것 같다)

왜냐하면 다음과 같기 때문이다.

그러나 다음과 같은 경우에는 모순이 발생하여 통하지 않는다는 것을 알 수 있다. (발산하기 때문인 것 같다)

를 정의하자

  • 집합 K는 음이 아닌 정수의 집합이다.
  • 집합 K는 무한 집합일 수도 있다.
  • 일반 합 를 어떻게 안전하게 정의할 수 있을까?

이라 생각하자. 그렇다면 가능한 경우는 두 가지다.

집합 K의 유한 부분집합 F에 대해,

  •  
    • 합의 결과가 A의 최소값으로 나온다.
      • 이런 A를 경계상수라 부르자.
  •  
    • 합의 결과로, 경계상수 A가 없다면 합의 결과는 일 것이다.
    • 즉, 합의 결과는 결계상수 A이거나 무한대이다.

일단 집합 K가 음이 아닌 정수들의 집합이라면 다음과 같이 생각할 수 있다.

응용

를 풀어보자

이라면 다음과 같다.

  • 만약 x가 0보다 크고 1보다 작은 수라면 결과는 이 된다.
  • 만약 x가 1보다 크거나 같다면 결과는 무한대가 된다.

S 를 풀어보자

위에서 풀어 보았던 S의 값을 이 방법으로 검증해 보자.

오오. 아주 쉽게 2가 맞다는 것을 검증할 수 있었다.

T 를 풀어보자

그렇다면 이번에는 위에서 풀지 못했던 T를 풀어 보자.

모양을 보면 대충 식이 다음과 같이 될 것 같다.

여기에서 x값이 1 이상이므로 가 된다.

내림제곱이 있는 형태를 풀어보자

음수가 있는 경우

음수가 있는 경우에는 어떻게 해야 할지 알아보자.

더하는 방식에 따라 결과가 달라진다.

이런 경우, 합의 결과가 0 인지 1인지 알 수가 없다.

이에 대해 책에서는 다음과 같이 말한다.

  • 고급 해석학에서는 이런 경우를 해결하는 여러 가지 정의들이 있다.
  • 그런데 그 정의들을 사용하면, 여태 사용했던 의 사용에 제약이 생긴다.
  • 그러므로 이 책에서는 지금까지 배운 내용들이 모두 호환되는 정의를 사용하도록 한다.

무한합의 일반 정의

임의의 실수 에 대하여, 양수 부분과 음수 부분을 쪼개어 다음과 같이 표현하자.

그대로 을 씌우면 지금까지 배운 내용들이 모두 호환되는 무한합의 일반 정의가 된다.

(단, 와 둘 다 인 경우는 제외한다.)

그리고 일일이 쓰기 귀찮으니 다음과 같이 정의하자.

절대수렴(converge absolutely)과 발산(diverge)
유한 유한 에 절대수렴한다.
유한 로 발산한다.
유한 로 발산한다.
무의미

위의 표는 다음과 같이 이해하면 된다.

첫 번째 줄의 경우 ”가 유한하고, 가 유한하면, 는 에 절대수렴한다.”

복소수의 경우로 확장

를 복소수의 경우까지 확장해보자.

  • : Real Number. 실수.
    • 즉 는 의 실수부이다.
  • : Imaginary Number. 허수.
    • 즉 는 의 허수부이다.

i만 주의해서 사용하면 실수를 쓸 때와 큰 차이가 없을 것 같다.

나쁜 소식에 대하여

  • 지금까지 배운 모든 합의 규칙들은 절대수렴하는 합들을 다룰 때에만 유효하다.
  • 몇몇 무한합은 정의하지 않고 넘어갈 수 밖에 없다.

다중합의 근본 원리

Absolutely convergent sums over two or more indices can always be summed first with respect to any one of those indices.
둘 이상의 색인들에 관한 절대수렴 합은 항상 그 색인들 중 하나에 관해 먼저 합산할 수 있다.

말하자면, 색인이 여럿 있는 절대수렴 합은, 색인별로 먼저 합을 구해도 된다는 뜻이다.

증명은 책에 자세히 나와 있으므로 생략한다.

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