한정기호
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math
Quantifiers
전칭 한정기호
universal quantifier
- P(x)의 전칭 한정
P(x) for all values of x in the domain.
정의역의 원소인, 모든 x 에 대해 P(x)가 성립한다.
- : 전칭 기호(universal quantifier)
는 다음과 같이 읽는다.
- for all
- for every
- all of
- for each
- given any
- for arbitrary
- for any - 의미가 모호해 사용을 권장하지 않는다.
- 모든
주의 : 정의역을 명확히 하는 것이 중요.
예제
-
- 인 모든 x 에 대하여 이다.
- 과 동치.
-
- 0 이 아닌 모든 x 에 대하여, 이다.
- 과 동치.
존재 기호
existential quantifier
- P(x)의 존재 한정
There exists an element x in the domain such that P (x).
정의역의 원소인, 적어도 하나의 x 에 대해 P(x)가 성립한다.
- : 존재 기호(existential quantifier)
는 다음과 같이 읽는다.
- there exists
- for some
- for at least one
- there is
예제
-
- 을 만족하는 0 보다 큰 x 가 적어도 하나 존재한다.
- 와 동치.
유일 한정기호
uniqueness quantifier
사용할 일은 별로 없지만 알아는 두자.
- : There exists a unique x such that P(x) is true
- : There exists a unique x such that P(x) is true
다음과 같이 읽는다.
- there exists a unique
- there is exactly one
- there is one and only one
연산자 우선순위
- 는 명제 논리의 모든 논리 연산자보다 높은 우선순위를 갖는다.
한정 기호에 대한 드 모르간의 법칙
한정기호 중첩
Nested Quantifiers
또는
- is true for every pair x, y.
- 모든 x, y에 대하여 가 참이다.
- For every x there is a y for which is true.
- 모든 x에 대하여 가 참이 되는 y 가 적어도 하나 존재한다.
- There is an x for which is true for every y.
- 어떤 x 가 존재하여, 모든 y에 대해 가 참이다.
또는
- There is a pair x, y for which is true.
- 가 참이 되는 x, y 쌍이 적어도 하나 존재한다.
한정 순서가 크게 상관 없는 것처럼 보이지만, 두 한정 기호가 섞여 있을 때 순서가 바뀌면 참/거짓이 바뀌는 경우가 있으니 주의한다.
다음 문장을 라는 식으로 옮겼다고 생각해 보자.
- For all real numbers x and for all real numbers y there is a real number z such that .
- 모든 실수 x, 모든 실수 y에 대해 를 만족하는 z 가 존재한다.
이것은 참이다.
하지만 위의 문장을 와 같은 식으로 꾸미면 거짓이 된다.
- There is a real number z such that for all real numbers x and for all real numbers y it is true that .
- 어떤 실수 z가 있는데, 모든 실수 x 와 모든 실수 y 에 대해 가 참인 결과가 나온다.
예제
- 모든 x 에 대하여, 을 만족하는 y 가 적어도 하나 존재한다.
- 모든 x, y 에 대하여, 가 성립한다.
- 교환법칙이 성립한다.
- 모든 x, y, z 에 대하여, 결합법칙이 성립한다.