n개의 제비뽑기에 n번 도전

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개요

Quora에 다음과 같은 질문이 올라왔다.

What is $\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^n$ ?

쭉 읽어보면 대부분의 사람들이 계산해보면 $e^{-1}$ 가 나온다고 답변을 달아놨다.

WolframAlpah에 검색해보니 역시 $e^{-1}$ 가 나온다.

그리고 $e^{-1}$의 값은 대략 0.367879 이다.

메모

내가 $n$ 개의 제비 중 1개의 당첨 제비를 노리고 있다 하자. 제비는 뽑고 나서 버리지 않고 다시 상자로 집어넣는다.

매 번 뽑을 때마다 당첨 제비를 뽑을 확률은 $\frac{1}{n}$이며, 당첨되지 않을 확률은 $\frac{n-1}{n}$이 된다.

그렇다면 $n$개의 제비를 $n$번 뽑을 때 당첨 제비를 뽑지 못하게 될 확률은 얼마나 될까?

• $n = 1$ 인 경우: $\left(\frac{1-1}{1}\right)^1$ 이므로 $0$ 이다.
• $n = 2$ 인 경우: $\left(\frac{2-1}{2}\right)^2 = (\frac{1}{2})^2$ 이므로 $\frac{1}{4}$ 이다. 25% 라고 할 수 있다.
• $n = 3$ 인 경우: $\left(\frac{3-1}{3}\right)^3 = (\frac{2}{3})^3$ 이므로 $\frac{8}{27}$ 이다. 약 29.63% 라고 할 수 있다.

…

• $n\to\infty$ 인 경우: $\frac{1}{e}$ 이다. 약 36.79%라고 할 수 있다.

보통 10 개 중에 당첨 제비가 하나 있다면 10번 뽑으면 대체로 당첨 제비를 뽑을 거라는 기대를 한다.

• 제비의 수가 무한히 많고 똑같은 만큼 무한히 제비를 뽑는다면 아래와 같이 생각할 수 있을 것이다.
  • 당첨 제비를 뽑지 못할 확률이 36.79% 정도
  • 당첨 제비를 적어도 한 번 뽑을 확률이 63.21% 정도

대체로가 50% 이상을 의미한다고 가정해 보면 대체로 뽑을 거라는 기대는 어느 정도 들어맞는다고 할 수 있다.

그러나 거의 확실하게 뽑게 된다라는 믿음을 갖고 있다면 실망하게 될 가능성이 크다.