최대공약수와 최소공배수
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Greatest Common Divisor, Least Common Multiple
정의
최대공약수
GCD: The Greatest Common Divisor
Let and be integers, not both zero. The largest integer such that and is called the greatest common divisor of and . The greatest common divisor of and is denoted by .
- 0 이 아닌 정수 a, b 에 대하여
- 이고 인 가장 큰 정수 를 a, b의 최대공약수라 부른다.
- 최대공약수는 로 표시된다.
참고: 는 가 로 나누어 떨어진다는 의미.
서로소, 상대소수
relatively prime
The integers and are relatively prime if their greatest common divisor is 1.
- 정수 a, b 의 최대공약수가 1 이면
- a, b 는 서로소이다.
- 서로소는 상대소수라고도 한다.
최소공배수
LCM: The Least Common Multiple
The least common multiple of the positive integers and is the smallest positive integer that is divisible by both and . The least common multiple of and is denoted by .
- 양의 정수 a, b 의 최소공배수는
- a 와 b 로 나누어 떨어지는 가장 작은 양의 정수이다.
- 최소공배수는 로 표시된다.
정리
최소공배수와 최대공약수의 곱
a,b의 최대공약수와 b,r의 최대공약수
Let , where , and are integers. Then .
- 이 정수이고 이면
- 이다.
증명
이고, 라고 가정하자. (와 를 나누었을 때 나누어 떨어지는 수 가 있다고 가정하자)
그렇다면 도 로 나누어 떨어질 것이다.
그런데 이므로, 은 로 나누어 떨어진다.
따라서, 와 의 모든 공약수는 와 의 공약수이다.
한편, 에서 이므로, 의 공약수는 의 공약수이다.
그러므로 .
유클리드 알고리즘
The Euclidean Algorithm
- 유클리드 호제법이라고도 한다.
- 互: 서로
- 除: 나누는
- 法: 알고리즘
- go 언어로 작성한 유클리드 알고리즘.
func Gcd(a, b int) int {
x := a
y := b
for y != 0 {
r := x % y
x = y
y = r
}
return x
}
- 다음은 재귀를 사용한 것이다.
func Gcd(a, b int) int {
if a < b {
return Gcd(b, a)
}
if a%b == 0 {
return b
}
return Gcd(b, a%b)
}
베주의 정리와 베주의 항등식
Bézout’s theorem
If and are positive integers, then there exist integers and such that .
- 양의 정수 에 대하여
- 를 만족하는 정수 가 존재한다.
Bézout’s identity
If and are positive integers, then integers and such that are called Bézout coefficients of and (after Étienne Bézout, a French mathematician of the eighteenth century). Also, the equation is called Bézout’s identity.
- 양의 정수 에 대하여, 를 만족하는 정수 를 의 베주 계수라 부른다.
- 방정식 를 베주의 항등식이라 부른다.
GCD as Linear Combinations
베주 항등식에 의해 는 정수 계수를 갖는 선형결합으로 표현할 수 있다.
가령, 이므로 이다.
숫자가 약간 커지면 유클리드 호제법을 사용하면 된다.
의 경우를 생각해 보자.
유클리드 호제법의 계산 과정을 참고해 적절히 대입하면 베주의 항등식으로 표현하기 용이하다.
참고문헌
- Rosen의 이산수학 / Kenneth H. Rosen 저 / 공은배 등저 / 한국맥그로힐(McGraw-Hill KOREA) / 2017년 01월 06일